학습목표

전체 확률의 법칙을 이해하고 문제풀이에 적용할 수 있으며, 조건부 독립의 개념을 이해한다.

핵심 키워드

• 전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)
• 조건부 확률
• 사전확률과 사후확률(prior, posterior probability)
• 조건부 독립(conditional independence)
  

학습하기

학습내용

문제 푸는 방법

• 간단한 케이스와 극단적인 케이스에 적용해보기
• 문제를 작은 문제들로 쪼개서 생각해보기

$S$를 A_1, A_2, ... A_n  A​1​​,A​2​​,...A​n​​의 서로소인 분할들로 나누어 놓았다고 했을 때, 

 P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + ... + P(B \cap A_n)  P(B)=P(B∩A​1​​)+P(B∩A​2​​)+...+P(B∩A​n​​) 가 성립하며, 이는 곧

 = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) +... + P(B|A_n)P(A_n)  =P(B∣A​1​​)P(A​1​​)+P(B∣A​2​​)P(A​2​​)+...+P(B∣A​n​​)P(A​n​​) 로도 다시 쓰일 수 있다. 

이를 전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)라고 한다. 

예제 1) 카드 한 벌에서 무작위로 두 장을 뽑았을 때, 

i) P(두 장 다 에이스| 에이스를 뽑음)

= P(두 장 다 에이스) / P(에이스를 뽑음) 

 = \huge{\frac{{4\choose 2}/{52 \choose 2}}{1-{48 \choose 2}/{52 \choose 2}}}  =​1−(​2​48​​)/(​2​52​​)​ ​(​2​4​​)/(​2​52​​)​​  = \Large \frac{1}{33}   =​33​ ​1​​ 

ii) P(두 장 다 에이스| 스페이드 에이스를 뽑음)

[♠] [?] 

한 장의 카드는 스페이드 에이스로 정해져 있기 때문에, 두 장의 카드 중에서 [?]에 해당하는 한 장의 카드를 나머지 3개의 에이스 중에서 뽑으면 된다. 

따라서 구하는 확률 \Large = \frac {3}{51} = \frac{1}{17}  =​51​ ​3​​=​17​ ​1​​ 

예제 2) 인구의 1%가 걸리는 병이 있고, 이 병의 검사 결과가 ‘95%의 정확도를 갖고 있다’고 하자. 검사가 양성으로 나왔을 때, 실제로 이 병에 걸렸을 경우는?

병에 걸리는 사건을 $D$, 검사 결과 양성으로 나오는 사건을 $T$라고 하자.

문제에서 $P(D)=0.01$ 로 주어졌고,

‘95%의 정확도를 갖고 있다’를  P(T|D) = P(T^C|D^C) = 0.95  P(T∣D)=P(T​C​​∣D​C​​)=0.95 라고 해석할 수 있다고 가정하면, 

구하고자 하는 확률  $P(D|T)$ 는

 \Large = \frac{P(T|D)P(D)}{P(D)} = \frac{P(T|D)}{P(T|D)P(D)+ P(T|D^C)P(D^C)}  =​P(D)​ ​P(T∣D)P(D)​​=​P(T∣D)P(D)+P(T∣D​C​​)P(D​C​​)​ ​P(T∣D)​​ 과 같이 구할 수 있다.

조건부 확률 문제를 풀며 자주 하는 실수

1. $P(A|B)$와 $P(B|A)$를 헷갈리는 것: ‘조건’과 ‘구하고자 하는 것’을 확실히 알기!
2. $P(A)$ '사전확률‘(prior)과  $P(A|B)$ ‘사후확률'(posterior)를 헷갈리는 것
3. 독립과 조건부 독립을 헷갈리는 것

조건부 독립: 'A와 B는 조건 C 하에서 독립이다'

정의) $P(A\cap B|C)=P(A|C)P(B|C)$ 

조건부 독립  $\Rightarrow$ 독립이 성립하는가? FALSE

독립 $\Rightarrow$ 조건부 독립이 성립하는가? FALSE

→ 반례 생각해보기