학습 목표

확률의 naïve한 정의로 접근하기 어려운 경우를 알아내고, story proof를 통한 접근을 할 수 있다. 또한 확률의 non-naïve한 정의를 위한 공리 2가지를 이해하고 적용할 수 있다.

핵심 키워드

• 확률의 naïve 한 정의
• Story proof
• 확률의 non-naïve한 정의의 공리

학습하기

들어가기 전에, 문제 풀 때 팁(~11분 31초):

• object(사람, 구슬 등등)들을 labeling 하며 풀기
• 나온 답에 숫자 대입해보고 성립하는지 확인해보기
  • 가장 일반적인 경우 - 예를 들어 n = 1; 
  • 가장 극단적인 경우 - 예를 들어 n = 0;
  • 계산하기 간단하지만 유의미한 값 - 예를 들어 n = 2;

학습내용

n개에서 k개를 순서 상관 없이, 복원하며 뽑는 경우의 수: \Large {n+k-1}\choose k  (​k​n+k−1​​) 

→ 숫자 대입해서 확인해보기

• (일반적인 경우) k = 1 대입: \large n\choose 1  (​1​n​​) 
• (극단적인 경우) k = 0 대입:  \large {n-1}\choose 0  (​0​n−1​​) 
• (간단하지만 당연하지는 않은 값) n = 2 대입:  \large {k+1}\choose k  (​k​k+1​​)  = \large {k+1} \choose 1  =(​1​k+1​​) $=k+1$ 

→ 일반화: n개의 상자에 k개의 구별 불가능한 object들을 넣을 수 있는 경우의 수는 얼마인가?

구슬과 같이 실물이 있는 물체는 labeling이 가능하며 서로 구별이 가능하다. 따라서 확률의 naive한 정의로 접근이 가능하다. 하지만 물리학, counting problem에서의 경우에는 object들이 항상 구별 가능한 것이 아니기 때문에 이와 같은 접근이 어렵다.

위 문제는 n+k-1개의 위치에 원과 구분선을 배열하는 것과 같다. 원의 위치를 먼저 정하면 구분선의 위치도 결정되고, 그 반대도 성립하기 때문에, 다음과 같은 등식이 성립함을 확인할 수 있다.

 \Large {n+k-1}\choose {n-1}  (​n−1​n+k−1​​) = \Large {n+k-1}\choose k  =(​k​n+k−1​​) 

Story proof: 상황 해석을 통한 증명 (대수적 방법으로 접근하는 것보다 훨씬 쉬울 때가 있음!)

• ex 1)  \large n\choose k  (​k​n​​)  = \large n\choose{n-k}  =(​n−k​n​​) 
• ex 2)  n \times \large {n-1}\choose {k-1}  n×(​k−1​n−1​​)  = k \times \large n\choose k  =k×(​k​n​​) 

→ n명 중에서 k명 뽑기, k명 중에서 한 명을 회장으로 뽑는 문제로 해석

→ 회장을 먼저 뽑고 나머지 k명에 들어갈 사람 뽑기 $\iff$ k명을 뽑고 그 중에서 회장 뽑기

• ex 3)  \large {m+n} \choose k  (​k​m+n​​) = \large \sum_{j=0}^{k} {m\choose j} {n\choose {k-j}}  =∑​j=0​k​​(​j​m​​)(​k−j​n​​)  

Non-naïve definition of probability

• 확률공간(Probability space) → S와 P로 구성됨
  

• 공리 
  • $P(\varphi )=0,P(S)=1$ 
  • P(\bigcup_{n=1} ^\infty A_n) = \sum_{n=1} ^\infty P(A_n)  P(⋃​n=1​∞​​A​n​​)=∑​n=1​∞​​P(A​n​​)      (A_i, A_j  A​i​​,A​j​​ 는 서로소이다)

→ 두 가지 공리로부터 대부분의 식을 유도할 수 있음!